逆に時間は行きつ戻りつする周期関数である事を物理学的に導出４！ロシア・スミルノフ学派Dr佐野千遥

ロシア科学アカデミー・スミルノフ学派論文審査員：ドクター佐野千遥

ここでrac2φc'を考える

面積速度は　S ac= (1/2)rac2φc' であるから
ここで面積速度を微分してみる
dSac/dt=｛(1/2)rac2φc'｝'= racrac'φc'+(1/2)rac2φc''　
⑥よりrac'φc'+(1/2)racφc''=0

よって曲面ではあるが星Aに対する星B、Cの面積速度一定の法則は成り立っている！

次に星B上に固定されたXb軸方向についての星Aの速度をVxba(加速度をαxba)、Yb軸方向についての星Aの速度をVyba(加速度をαyba)とし、Xb軸方向についての星Cの速度をVxbc(加速度をαxbc)、Yb軸方向についての星Cの速度をVybc(加速度をαybc)とし、物体星Aの場所は
(xba,yba)=(rbacosφa,rba sinφba)であり
物体星Cの場所は
(xbc,ybc)=(rbccosφc,rbc sinφbc)
であるから云々で同様に

ma･dVxa/dt=fxa=f(ra)cosφa…①
ma･dVya/dt=fya=f(ra)sinφa…②

次にVxa=dxa/dt=ra'cosφa – raφa'sinφa
Vya=dya/dt=ra'sinφa+raφa'cosφa

さらに
αxa
=dVxa/dt
=ra''cosφa – ra'φa'sinφa – ra'(φa'sinφa) – ra(φa'sinφa)'
=ra''cosφa – ra'φa'sinφa – ra'(φa'sinφa) – ra(φa''sinφa+(φa')2cosφa)
=ra''cosφa – ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa – ra(φa')2cosφa
=r'a'cosφa - 2ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa – ra(φa')2cosφa…③
同様に
αya
=dVya/dt
=ra''sinφa+ra'φa'cosφa+ra'(φa'cosφa)+ra(φa'cosφa)'
=ra''sinφa+ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa+ra(φa''cosφa - (φa')2sinφa)
=ra''sinφa+ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa – ra(φa')2sinφa
=ra''sinφa+2ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa – ra(φa')2sinφa…④

①式と②式より
①cosφa+②sinφa=ma(cosφa･dVxa/dt+sinφa･dVya/dt)=(sin2φa+cos2φa)f(ra)=f(ra)
cosφa･dVxa/dt+sinφa･dVya/dt=f(ra)/ma
①sinφa – ②cosφa=ma(sinφa･dVxa/dt+cosφa･dVya/dt)=cosφasinφaf(ra)-sinφacosφaf(ra)=0
これらのdVxa/dtとdVya/dtに③と④を代入すると
cosφa｛ra''cosφa – 2ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa-ra(φa')2cosφa｝+sinφa｛ra''sinφa+2ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa – ra(φa')2sinφa｝
=ra'' – ra(φa')2=f(ra)/m
よってma｛ra'' – ra(φa')2｝=f(ra)
同様に
sinφa｛ra''cosφa - 2ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa – ra(φa')2cosφa｝ - cosφa｛ra''sinφa+2ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa – ra(φa')2sinφa｝
=2ra'φa'+raφa''=0
また両辺にmaをかけると
ma(2ra'φa'+raφa'')=0

ma｛ra'' – ra(φa')2｝=f(ra)…⑤
ma(2ra'φa'+raφa'')=0…⑥

ここでra2φa'を考える

星Bに対する星Aの面積速度は　S ba= (1/2)rba2φba' であるから
ここで面積速度を微分してみる
dSba/dt=｛(1/2)rba2φba'｝'= rba rba'φba'+(1/2)rba2φba''　
⑥よりrba'φba'+(1/2)rbaφba''=0

星Bに対する星Cの面積速度は　S bc= (1/2)rbc2φc' であるから
ここで面積速度を微分してみる
dSbc/dt=｛(1/2)rbc2φbc'｝'= rbc rbc'φbc'+(1/2)rbc2φbc''　
⑥よりrbc'φbc'+(1/2)rbcφbc''=0

よって曲面ではあるが星Bに対する星C、Aの面積速度一定の法則は成り立っている！

同様に曲面ではあるが星Cに対する星A、Bの面積速度一定の法則は成り立っている！

先ずここで19世紀末のポアンカレーの微積分による多体問題が解けない証明にも拘らず、確かに時々刻々の位置ではないが、時々刻々の面積速度一定の法則は３体以上でも成り立つ事が証明された事を確認しよう。

何故かという質問に先回りして答えると、ニュートンの動的作用反作用の法則 F1 * v1 = - F2 * v2 の式の左辺、右辺とは２つのベクトルの外積を意味し、正に曲面の面積速度一定の事を意味しているからである。それほどまでにニュートンの動的作用反作用の法則 F1 * v1 = - F2 * v2は聖域に有ると言って良い程のメタ・レベルの法則なのである。

更に今度は３体問題における星の位置を先の演算を継続して試みて見る。正にポアンカレが出来ないと証明した事に先ず微積分をそのまま使って業と挑んで見る。

f(ra)、f(rb) 、f(rc)に万有引力の逆二乗の法則を更に導入すると、先の論が離散値と差分・和分を使わず、連続実数値と微積分を使っているために、解決できない問題に遭遇する。
３体以上の問題において微積分の立場では作用反作用が全て同時に働くと考えるため、物体に働く力は動径方向を向いている条件が消えてしまい、働く力は常に方向が変動するので、方位角方向の加速度が0とは言えなくなり、２体問題の場合に成り立った下記の式が成り立たなくなる。
,dφ/ dt = hu^2
ここで h は積分定数である。また、ここで 1/ra、1/rb、1/rc を補助変数ua、ub、uc に置き換えても、力の動径自体が定まらなくなり、又力の動径成分の大きさだけで論じられなくなり、運動する物体の単位質量当り f(r) とすると、運動方程式の動径成分から時間変数が消去されず、２体問題では得られた以下の式を得る事ができない。
.{(d^2 u) / (dφ^2)} = f(1/u) / (h^2 * u^2)
力が距離の2乗に反比例する場合を考えても、３変数の互いの関係が定かでない関数fが原因でこの方程式の右辺は定数とはいえなくなり、（従属変数の原点をずらしても）方程式が調和方程式となる事がない。
よって連続実数値と微積分を使うと、この天体の軌道の方程式を得る事が出来ない。つまり３体以上の多体問題はポアンカレーも証明したとおり連続実数値と微積分を使うと解けない。

ところが我々の物理世界は離散値の世界なので時間は離散値的に区切られており、多体たりとも実際の作用反作用は２体ずつ対に成って順次行われるので（何故なら動的作用反作用の法則F1 * v1 = - F2 * v2の式の実行にはゼロでない有限の時間を要するから）、連続実数値と微積分の代わりに離散値と差分・和分を使うと、

物体に働く力は常に動径方向を向いているので、方位角方向の加速度は0であり、以下の式が成り立つ。

,Δφa/ Δt = ha ua^2、Δφb/ Δt = hb ub^2、Δφc/ Δt = hc uc^2

ここでha、 hb、hc は積分定数である。上記３式の右辺の導出に当たり、今回は微分でなく差分であるために相互作用の情報を含んだ交差した項が一旦発生するが、それらの交差した項は上述した面積速度の時間差分の方程式の左辺と同じになるので、結局消去される。微分では解けなくて差分では解けるそもそもの理由は差分が我々の物理世界にマッチした離散値の数学であるからだけでなく、差分は相互作用の情報を一旦交差した項に受け止める事が出来るからである。そこで、次に1/ra、1/rb、 1/rcを補助変数ua 、ub、uc に置き換える。

この時、力の動径成分の大きさを、運動する物体の単位質量当り f(ra) 、f(rb)、 f(rc) とすると、運動方程式の動径成分から時間変数が消去され、以下の式を得る。

{(Δ^2 ua) / (Δφa^2)} = f(1/ua) / (ha^2 * ua^2)、{(Δ^2 uｂ) / (Δφｂ^2)} = f(1/uｂ) / (hｂ^2 * uｂ^2)、{(Δ^2 uc) / (Δφc^2)} = f(1/uc) / (hc^2 * uc^2)

今、力が距離の2乗に反比例する場合を考えると、この方程式の右辺は定数となり、（従属変数の原点をずらすと）方程式は調和方程式となる。

これにより、星A星B、星Cの軌道の方程式とは以下のようになる。
ra = 1 / ua = La / {1 + ea cos(φa- φa)}、rb = 1 / ub = Lb / {1 + eb cos(φb- φb)}、rc = 1 / uc = Lc / {1 + ec cos(φc- φc)}

ここで φ と e は積分定数で、L は半直弦 (semi-latus rectum) である。この式は極座標での円錐曲線の方程式と見なせる。

位相φa、φb、φcが異なるので、これ等の３つの方程式が組み合わされると相当な曲がりくねった軌道となるが、「正統派」現代物理学が負け惜しみで言っているような決して予測できないようなカオス的軌道ではなく、星Aから見ていれば、星B、星Cは３次元空間内遠近方向への移動は有るがシルエットとしては全て２次曲線の軌道上を運行しているように見え、星Bから見ていれば、星C、星Aは３次元空間内遠近方向への移動は有るがシルエットとしては全て２次曲線の軌道上を運行しているように見え、星Cから見ていれば、星A、星Bは３次元空間内遠近方向への移動は有るがシルエットとしては全て２次曲線の軌道上を運行しているように見える事が論証された事になる。この軌道情報は即絶対座標系上の点の位置ではないが多体問題に於いては各星の上に設置された相対座標を３つの星について組み合わせればその全ての星に包括的に固定された座標系上の位置が定まる事を意味する。

以上論証したように、離散値の世界のニュートンの動的作用反作用の法則はアインシュタインの相対性理論が挑んだ問題の全て、ポアンカレーが解けないとした多体問題を解く手段を提供しているのである。

この事を論証したのは物理学史上佐野千遥が初めてである。

ロシア科学アカデミー・スミルノフ学派論文審査員：ドクター佐野千遥

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