ロシア科学アカデミー・スミルノフ学派論文審査員：ドクター佐野千遥
では更に進んで、3体問題に上述した微積分の式の導出を適用して見よう。
先ず星A上に固定されたXa軸方向についての星Bの速度をVxab(加速度をαxab)、Ya軸方向についての星Bの速度をVyab(加速度をαyab)とし、Xa軸方向についての星Cの速度をVxac(加速度をαxac)、Ya軸方向についての星Cの速度をVyac(加速度をαyac)とし、物体星Bの場所は
(xab,yab)=(rabcosφb,rabsinφb)で物体星Cの場所は
(xac,yac)=(raccosφc,racsinφc)であるから
mb･dVxab/dt=fxab=f(rab)cosφb…①
mb･dVyab/dt=fyab=f(rab)sinφb…②
mc･dVxac/dt=fxac=f(rac)cosφc…①
mc･dVyac/dt=fyac=f(rac)sinφc…②
次にVxab=dxab/dt=rab'cosφb – rabφb'sinφb
Vyab=dyab/dt=rab'sinφb+rabφb'cosφb
Vxac=dxac/dt=rac'cosφc – racφc'sinφc
Vyac=dyac/dt=rac'sinφc+racφc'cosφc
さらに
αxab
=dVxab/dt
=rab''cosφb – rab'φb'sinφb – rab'(φb'sinφb) – rab(φb'sinφa)'
=rab''cosφb – rab'φb'sinφb – rab'(φb'sinφb) – rab(φb''sinφb+(φb')2cosφb)
=rab''cosφb – rab'φb'sinφb – rab'φb'sinφb – rab'φb'sinφb – rab(φb')2cosφb
=ra'b'cosφb - 2rab'φb'sinφb – rab'φb'sinφb – rab(φb')2cosφb…③
αxac
=dVxac/dt
=rac''cosφc – rac'φc'sinφc – rac'(φc'sinφc) – rac(φc'sinφa)'
=rac''cosφc – rac'φc'sinφc – rac'(φc'sinφc) – rac(φc''sinφc+(φc')2cosφc)
=rac''cosφc – rac'φc'sinφc – rac'φc'sinφc – rac'φc'sinφc – rac(φc')2cosφc
=ra'c'cosφc - 2rac'φc'sinφc – rac'φc'sinφc – rac(φc')2cosφc…③
同様に
αyab
=dVyab/dt
=rab''sinφb+rab'φb'cosφb+rab'(φb'cosφb)+rab(φb'cosφb)'
=rab''sinφb+rab'φb'cosφb+rab'φb'cosφb+rab(φb''cosφb - (φb')2sinφb)
=rab''sinφb+rab'φb'cosφb+rab'φb'cosφb+rab'φb'cosφb – rab(φb')2sinφb
=rab''sinφb+2rab'φb'cosφb+rab'φb'cosφb – rab(φb')2sinφb…④
αyac
=dVyac/dt
=rac''sinφc+rac'φc'cosφc+rac'(φc'cosφc)+rac(φc'cosφc)'
=rac''sinφc+rac'φc'cosφc+rac'φc'cosφc+rac(φc''cosφc - (φc')2sinφc)
=rac''sinφc+rac'φc'cosφc+rac'φc'cosφc+rac'φc'cosφc – rac(φc')2sinφc
=rac''sinφc+2rac'φc'cosφc+rac'φc'cosφc – rac(φc')2sinφc…④
①式と②式より
①cosφb+②sinφb=mb(cosφb･dVxab/dt+sinφb･dVyab/dt)=(sin2φb+cos2φb)f(rab)=f(rab)
cosφb･dVxab/dt+sinφb･dVyab/dt=f(rab)/mb
①sinφb – ②cosφb=mb(sinφb･dVxab/dt+cosφb･dVyab/dt)=cosφbsinφbf(rab)-sinφbcosφbf(rab)=0
①cosφb+②sinφb=mb(cosφb･dVxab/dt+sinφb･dVyab/dt)=(sin2φb+cos2φb)f(rab)=f(rab)
cosφb･dVxab/dt+sinφb･dVyab/dt=f(rab)/mb
①sinφb – ②cosφb=mb(sinφb･dVxab/dt+cosφb･dVyab/dt)=cosφb sinφb f(rab)-sinφb cosφbf(rab)=0
①cosφc+②sinφc=mc(cosφc･dVxac/dt+sinφc･dVyac/dt)=(sin2φc+cos2φc)f(rac)=f(rac)
cosφc･dVxac/dt+sinφc･dVyac/dt=f(rac)/mc
①sinφc – ②cosφc=mc(sinφc･dVxac/dt+cosφc･dVyac/dt)=cosφcsinφcf(rac)-sinφccosφcf(rac)=0
①cosφc+②sinφc=mc(cosφc･dVxac/dt+sinφc･dVyac/dt)=(sin2φc+cos2φc)f(rac)=f(rac)
cosφc･dVxac/dt+sinφc･dVyac/dt=f(rac)/mc
①sinφc – ②cosφc=mc(sinφc･dVxac/dt+cosφc･dVyac/dt)=cosφc sinφc f(rac)-sinφc cosφcf(rac)=0
これらのdVxab/dtとdVyab/dtに③と④を代入すると
cosφb｛rab''cosφb – 2rab'φb'sinφb – rab'φb'sinφb-rab(φb')2cosφb｝+sinφb｛rab''sinφb+2rab'φb'cosφb+rab'φb'cosφb – rab(φb')2sinφb｝
=rab'' – rab(φb')2=f(rab)/m
よってmb｛rab'' – rab(φb')2｝=f(rab)
同様に
sinφb｛rab''cosφb - 2rab'φb'sinφb – rab'φb'sinφb – rab(φb')2cosφb｝ - cosφb｛rab''sinφb+2rab'φb'cosφb+rab'φb'cosφb – rab(φb')2sinφb｝
=2rab'φb'+rabφb''=0
また両辺にmbをかけると
mb(2rab'φb'+rabφb'')=0
mb｛rab'' – rab(φb')2｝=f(rab)…⑤
mb(2rab'φb'+rabφb'')=0…⑥
ここでrab2φb'を考える
面積速度は S b= (1/2)rab2φb' であるから
ここで面積速度を微分してみる
dSb/dt=｛(1/2)rab2φb'｝'= rabrab'φb'+(1/2)rab2φb''
⑥よりrab'φb'+(1/2)rabφb''=0
これらのdVxac/dtとdVyac/dtに③と④を代入すると
cosφc｛rac''cosφc – 2rac'φc'sinφc – rac'φc'sinφc-rac(φc')2cosφc｝+sinφc｛rac''sinφc+2rac'φc'cosφc+rac'φc'cosφc – rac(φc')2sinφc｝
=rac'' – rac(φc')2=f(rac)/m
よってmc｛rac'' – rac(φc')2｝=f(rac)
同様に
sinφc｛rac''cosφc - 2rac'φc'sinφc – rac'φc'sinφc – rac(φc')2cosφc｝ - cosφc｛rac''sinφc+2rac'φc'cosφc+rac'φc'cosφc – rac(φc')2sinφc｝
=2rac'φc'+racφc''=0
また両辺にmcをかけると
mc(2rac'φc'+racφc'')=0
mc｛rac'' – rac(φc')2｝=f(rac)…⑤
mc(2rac'φc'+racφc'')=0…⑥
ロシア科学アカデミー・スミルノフ学派論文審査員：ドクター佐野千遥
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