逆に時間は行きつ戻りつする周期関数である事を物理学的に導出２！ロシア・スミルノフ学派Dr佐野千遥

ロシア科学アカデミー・スミルノフ物理学派論文審査員：ドクター佐野千遥

２次曲線の話に立ち戻ろう。二体問題の上述した論は太陽が惑星を引力で引き付けて惑星が公転する場合のように、片方の星が巨大質量を持ち殆ど固定点に位置すると看做され得る場合の面積速度一定の法則、２次曲線軌道を論じたものである。

それでは星の片方が固定点と看做され得る程巨大質量を持っていないで、２つの星が大差ない質量同士の場合にどうなるかを論じよう。

「座標系が互いに等速運動している場合には物理学の法則が不変のまま保たれる。」これがアインシュタインが初めに考えた相対性原理であった。上述した一方が固定点座標における面積速度一定の法則と２次曲線軌道の式の導出を拡張してみよう。

質量に大差ない星A、星Bそれぞれの上に固定された座標を設置して、互いに逆二乗の重力で引き合う場合に先の計算式を拡張して見よう。

先ず星A上に固定されたXa軸方向についての星Bの速度をVxb(加速度をαxb)、Ya軸方向についての星Bの速度をVyb(加速度をαyb)とし、物体星Bの場所は
(xb,yb)=(rbcosφb,rbsinφb)であるから

mb･dVxb/dt=fxb=f(rb)cosφb…①
mb･dVyb/dt=fyb=f(rb)sinφb…②

次にVxb=dxb/dt=rb'cosφb – rbφb'sinφb
Vyb=dyb/dt=rb'sinφb+rbφb'cosφb

さらに
αxb
=dVxb/dt
=rb''cosφb – rb'φb'sinφb – rb'(φb'sinφb) – rb(φb'sinφa)'
=rb''cosφb – rb'φb'sinφb – rb'(φb'sinφb) – rb(φb''sinφb+(φb')2cosφb)
=rb''cosφb – rb'φb'sinφb – rb'φb'sinφb – rb'φb'sinφb – rb(φb')2cosφb
=r'b'cosφb - 2rb'φb'sinφb – rb'φb'sinφb – rb(φb')2cosφb…③
同様に
αyb
=dVyb/dt
=rb''sinφb+rb'φb'cosφb+rb'(φb'cosφb)+rb(φb'cosφb)'
=rb''sinφb+rb'φb'cosφb+rb'φb'cosφb+rb(φb''cosφb - (φb')2sinφb)
=rb''sinφb+rb'φb'cosφb+rb'φb'cosφb+rb'φb'cosφb – rb(φb')2sinφb
=rb''sinφb+2rb'φb'cosφb+rb'φb'cosφb – rb(φb')2sinφb…④

①式と②式より
①cosφb+②sinφb=mb(cosφb･dVxb/dt+sinφb･dVyb/dt)=(sin2φb+cos2φb)f(rb)=f(rb)
cosφb･dVxb/dt+sinφb･dVyb/dt=f(rb)/mb
①sinφb – ②cosφb=mb(sinφb･dVxb/dt+cosφb･dVyb/dt)=cosφbsinφbf(rb)-sinφbcosφbf(rb)=0
これらのdVxb/dtとdVyb/dtに③と④を代入すると
cosφb｛rb''cosφb – 2rb'φb'sinφb – rb'φb'sinφb-rb(φb')2cosφb｝+sinφb｛rb''sinφb+2rb'φb'cosφb+rb'φb'cosφb – rb(φb')2sinφb｝
=rb'' – rb(φb')2=f(rb)/m
よってmb｛rb'' – rb(φb')2｝=f(rb)
同様に
sinφb｛rb''cosφb - 2rb'φb'sinφb – rb'φb'sinφb – rb(φb')2cosφb｝ - cosφb｛rb''sinφb+2rb'φb'cosφb+rb'φb'cosφb – rb(φb')2sinφb｝
=2rb'φb'+rbφb''=0
また両辺にmbをかけると
mb(2rb'φb'+rbφb'')=0

mb｛rb'' – rb(φb')2｝=f(rb)…⑤
mb(2rb'φb'+rbφb'')=0…⑥

ここでrb2φb'を考える

面積速度は　S b= (1/2)rb2φb' であるから
ここで面積速度を微分してみる
dSb/dt=｛(1/2)rb2φb'｝'= rbrb'φb'+(1/2)rb2φb''　
⑥よりrb'φb'+(1/2)rbφb''=0

次に星B上に固定されたXb軸方向についての星Aの速度をVxa(加速度をαxa)、Yb軸方向についての星Aの速度をVya(加速度をαya)とし、物体星Aの場所は
(xa,ya)=(racosφa,rasinφa)であるから

ma･dVxa/dt=fxa=f(ra)cosφa…①
ma･dVya/dt=fya=f(ra)sinφa…②

次にVxa=dxa/dt=ra'cosφa – raφa'sinφa
Vya=dya/dt=ra'sinφa+raφa'cosφa

さらに
αxa
=dVxa/dt
=ra''cosφa – ra'φa'sinφa – ra'(φa'sinφa) – ra(φa'sinφa)'
=ra''cosφa – ra'φa'sinφa – ra'(φa'sinφa) – ra(φa''sinφa+(φa')2cosφa)
=ra''cosφa – ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa – ra(φa')2cosφa
=r'a'cosφa - 2ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa – ra(φa')2cosφa…③
同様に
αya
=dVya/dt
=ra''sinφa+ra'φa'cosφa+ra'(φa'cosφa)+ra(φa'cosφa)'
=ra''sinφa+ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa+ra(φa''cosφa - (φa')2sinφa)
=ra''sinφa+ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa – ra(φa')2sinφa
=ra''sinφa+2ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa – ra(φa')2sinφa…④

①式と②式より
①cosφa+②sinφa=ma(cosφa･dVxa/dt+sinφa･dVya/dt)=(sin2φa+cos2φa)f(ra)=f(ra)
cosφa･dVxa/dt+sinφa･dVya/dt=f(ra)/ma
①sinφa – ②cosφa=ma(sinφa･dVxa/dt+cosφa･dVya/dt)=cosφasinφaf(ra)-sinφacosφaf(ra)=0
これらのdVxa/dtとdVya/dtに③と④を代入すると
cosφa｛ra''cosφa – 2ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa-ra(φa')2cosφa｝+sinφa｛ra''sinφa+2ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa – ra(φa')2sinφa｝
=ra'' – ra(φa')2=f(ra)/m
よってma｛ra'' – ra(φa')2｝=f(ra)
同様に
sinφa｛ra''cosφa - 2ra'φa'sinφa – ra'φa'sinφa – ra(φa')2cosφa｝ - cosφa｛ra''sinφa+2ra'φa'cosφa+ra'φa'cosφa – ra(φa')2sinφa｝
=2ra'φa'+raφa''=0
また両辺にmaをかけると
ma(2ra'φa'+raφa'')=0

ma｛ra'' – ra(φa')2｝=f(ra)…⑤
ma(2ra'φa'+raφa'')=0…⑥

ここでra2φa'を考える

面積速度は　S a= (1/2)ra2φa' であるから
ここで面積速度を微分してみる
dSa/dt=｛(1/2)ra2φa'｝'= rara'φa'+(1/2)ra2φa''　
⑥よりra'φa'+(1/2)raφa''=0

故に中心力が働く時、星A側から星Bを見ようが、星B側からAを見ようが、相手側は常に面積速度は一定で公転している事が判る。

そしてf(r)に万有引力の逆二乗の法則を更に導入すると、
ここで物体に働く力は常に動径方向を向いているので、方位角方向の加速度は0であり、以下の式が成り立つ。
,dφb/ dt = hb ub^2、dφa/ dt = ha ua^2
ここで hb、ha は積分定数である。また、ここで 1/rb 1/raを補助変数ub、ua に置き換える。この時、力の動径成分の大きさを、運動する物体の単位質量当り f(rb)、 f(rb) とすると、運動方程式の動径成分から時間変数が消去され、以下の式を得る。
.{(d^2 ub) / (dφb^2)} = f(1/ub) / (hb^2 * ub^2)、{(d^2 ua) / (dφa^2)} = f(1/ua) / (ha^2 * ua^2)
今、力が距離の2乗に反比例する場合を考えると、この方程式の右辺は定数となり、（従属変数の原点をずらすと）方程式は調和方程式となる。
これにより、星Aから見た星Bの軌道の方程式と、星Bから見た星Aの軌道の方程式とは以下のようになる。
,rb = 1 / ub = Lb / {1 + eb cos(φb- φb)} 、,ra = 1 / ua = La / {1 + ea cos(φa- φa)}
ここで φ と e は積分定数で、L は半直弦 (semi-latus rectum) である。この式は極座標での円錐曲線の方程式と見なせる。

円錐曲線とは円錐を平面で切った時の断面の２次元図形の事で、切る角度により楕円、放物線、双曲線となる。物理的には大きなエネルギーを持って星Aに近付いてくる星Bは双曲線軌道を、より少ないエネルギーを持って星Aに近付いてくる星Bは放物線軌道を、更に小さなエネルギーを持って星Aに近付いてくる星Bは楕円軌道を描くと結論付ける事が出来る。また逆に物理的には大きなエネルギーを持って星Bに近付いてくる星Aは双曲線軌道を、より少ないエネルギーを持って星Bに近付いてくる星Aは放物線軌道を、更に小さなエネルギーを持って星Bに近付いてくる星Aは楕円軌道を描くと結論付ける事が出来る。［註］

［註］：楕円、放物線、双曲線とは言ったが、正確にはこれ等はメービウスの帯の構造を持った楕円、放物線、双曲線である。

先に述べたようにポアンカレが19世紀末に多体問題は微積分によっては解けない事を証明した事に触発されてアインシュタインが多体問題に挑む目的で相対性原理を提案した。アインシュタインは「等速運動」にこだわって、更に一般相対性理論においても光はどの座標系から見ても同じ等速運動をするとする光速度不変の法則まで提唱している。しかしそこまでしても、多体問題解決の方向には一歩も進めなかったのである。佐野が上述した事で注意すべきは、アインシュタインは「座標系が互いに等速運動している場合には物理学の法則が不変のまま保たれる。」（特殊相対性原理）のように「等速運動」というきつい制約を持ち込んでいるのだが、上で佐野が論証した相対的座標系から見た「面積速度一定の法則」「星の運行軌道は２次曲線」の2つの物理法則は座標系が「等速運動」していなくても「等加速度運動」すらしていなくても、逆二乗の引力＝重力が二つの座標系に互いに働いていれば成り立つ事が論証されている点である。

ロシア科学アカデミー・スミルノフ物理学派論文審査員：ドクター佐野千遥

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